CFOPのPLLチュートリアル

F2L完成・U層ピース全整列の下で、最終層の正当な入れ替え状態は288通り（4!×4!／2＝パリティ等しいコーナー／エッジペア）です。この288状態はAUF＋視点回転の同値で22構造軌道に群化されます。1軌道は完成／AUFのみ状態で、残り21軌道が名前付きPLLケースです。

分母72（無条件）。ケース別・グループ別確率表は標準分母72を使います——PLLスキップを含みます（全正当PLL状態の1／72）。例えばEPLLは一様確率空間の11／72≈15.3%を覆います。分母71（スキップ除外）。学習段階ロードマップはPLL手順が必要な解法中のカバレッジを使い、71で割ります。2分母は用途が違い、混同してはなりません。

• 4ヘッドライトがEPLLを他のすべての非スキップグループと区別します。
• UaとUbはフルバー1つ——3エッジ循環のアンカー。
• HとZはフルバーなし・カラーブロックなし。
• Hでは各ヘッドライト側の中央エッジがヘッドライト色の対辺色。Zでは隣接色です。

B／R／F／L方向：フルバー（あれば）が方向アンカー。HとZでは任意ヘッドライト側を参照にして可——対辺／隣接エッジ色比較は4側面すべて成り立ちます。

1. フルバーはある？→はい→U-perm：残りエッジが時計回りに循環→Ua、反時計回り→Ub。
2. フルバーはある？→いいえ：各ヘッドライト側の中央エッジが対辺色→H。
3. 各ヘッドライト側の中央エッジが隣接色→Z。

Ua↔Ubは鏡像かつ逆。HとZは自己逆かつ自己鏡像。

段階0の順序：Ua→Ub→H→Z。4ヘッドライト観察後に残るグループ間混同はありません。

• Eはヘッドライトなし・カラーブロックなし——この区分で唯一のケース。
• AaとAbはヘッドライトちょうど1つ＋非接続カラーブロック2つ。
• ヘッドライト側を参照に、1コーナーがアンカーとなり他3つがその周りを循環します。

B／R／F／L方向：ヘッドライト側を12時と心に描きます。2つの非接続カラーブロックはヘッドライトに隣接する側面に載り、アンカーコーナーとの相対位置がAaとAbを区別します。

1. ヘッドライトはいくつ？→0、カラーブロックなし→E。
2. 1ヘッドライト＋非接続カラーブロック2つ→A-perm：3コーナーがアンカーコーナー周りを時計回りに循環→Aa、反時計回り→Ab。

Aa↔Abは鏡像かつ逆。Eは自己逆かつ自己鏡像。

CPLL↔アジャセント——1ヘッドライト・フルバーなしの第一印象を共有。接続カラーブロックがあればアジャセント、なし＋非接続2つならCPLL／A。CPLL↔ダイアゴナル——0ヘッドライトを共有。カラーブロックゼロならE、あればダイアゴナル。CPLL↔G-perm——1ヘッドライト・フルバーなし・接続ブロックなしを共有。カラーブロックを数えます：2つならCPLL／A、1つならG-perm。

CPLL内の段階0順序：Aa→Ab→E。

• フルバー分岐（Ja、Jb、F）：JaとJbはバー外に同方向カラーブロック3つ追加、Fはバー外なし。
• フルバーなし分岐（T、Ra、Rb）：Tは接続カラーブロック2つ、RaとRbは1つ。
• 鏡像方向はヘッドライト／フルバー側を基準に読み、絶対面からは読まないこと。

B／R／F／L方向：ヘッドライトかフルバー側を12時に据えます。「時計回りに傾く」とはカラーブロックがその側の時計回り端コーナーを使うこと、「反時計回りに傾く」とは逆端のことです。

1. ヘッドライトはフルバー？→はい→バー外カラーブロックなし→F。
2. バー外カラーブロック3つがすべて同方向に傾く→J-perm：すべて反時計回り→Jb、すべて時計回り→Ja。
3. ヘッドライトはフルバー？→いいえ→接続カラーブロック2つ→T。
4. 接続カラーブロック1つ→R-perm：ブロックがヘッドライトの反時計回り隣接側→Ra、時計回り隣接側→Rb。

Ja↔JbとRa↔Rbは鏡像ペアで各メンバー自己逆。TとFは自己逆かつ自己鏡像。

CPLL↔アジャセント——CPLLは1ヘッドライト・フルバーなしを共有するが、接続ブロックなし＋非接続2つ。G-perm↔アジャセント——G-permも1ヘッドライトだが、フルバーも接続ブロックもなく、非接続1つのみ。

カリキュラム順はギャラリー順と違います。段階1：T→Jb→Ja。段階2：Ra→Rb→F。R／F対照の前にTを立てます。

• YとVはカラーブロック2つ——Vでは2ブロックが同じコーナーで会い、Yでは離れています。
• NaとNbはカラーブロック4つ、すべて周回方向に一貫して傾きます。
• ヘッドライトなし——これでCPLLのE以外すべてのグループと即区別できます。

B／R／F／L方向：0ヘッドライトでは任意側面を開始参照に。4側面を走査してカラーブロックを探し、共通コーナーで会うか（V）離れているか（Y）をたどります。Na／Nbでは4側面すべて傾きカラーブロック——一貫方向を確認。

1. カラーブロックはいくつ？→2：ブロックが離れている→Y。
2. 同じコーナーピースで会う→V。
3. 4カラーブロック：すべて反時計回りに傾く→Na、すべて時計回り→Nb。

Na↔Nbは鏡像で各メンバー自己逆。YとVは自己逆かつ自己鏡像。

0ヘッドライトではEが最初ダイアゴナルに見えることがあります——しかしEはカラーブロックゼロ、ダイアゴナルは2か4です。1回完全走査で決着します。

段階1でYをヘッドライトなし参照に導入。段階2でV追加。段階4でNa→Nb追加——どちらもYとVに照らして戻します。

• ヘッドライト側を12時に。
• ヘッドライト間のエッジはヘッドライト色に対して隣接色か対辺色——これが最初の分岐。
• 唯一の非接続カラーブロックは反時計回り隣接側、時計回り隣接側、ヘッドライト対辺のいずれかに載り、その位置と傾きで同定完成。

B／R／F／L方向：ヘッドライトを12時に据えます。ヘッドライト間エッジ色（隣接対対辺）が行を決め、ブロック位置と傾きが2×2配置の列を決めます。

1. ヘッドライト間の色は？→隣接色→唯一ブロックが反時計回り隣接側→Ga、時計回り隣接側→Gc。
2. 対辺色→唯一ブロックがヘッドライト対辺側：ブロックが反時計回りに傾く→Gb、時計回りに傾く→Gd。

逆行：Ga↔GbとGc↔Gd。鏡像列：Ga↔GcとGb↔Gd。4つはどれも自己逆ではありません。2×2配置：上行Ga（隣接・反時計回り）とGb（対辺・反時計回り）、下行Gc（隣接・時計回り）とGd（対辺・時計回り）。

CPLL↔G-perm——Aa／Abは1ヘッドライト・フルバーなし・接続ブロックなしを共有するが、非接続2つ対1つ。アジャセント↔G-perm——アジャセントはフルバーか接続1個以上を持ち、G-permはどちらもなし。

段階3の順序：Ga→Gb→Gc→Gd、逆ペア連続を保ちます。

各PLLグループは特徴的な循環型ペアを持ちます——4コーナーの動きを述べるものと4エッジのそれ。4構造だけ導入します：3循環（3ピース循環、1つ残留——2交換、偶パリティ）、二重互換（互いに素な2ペア交換——2交換、偶）、単一互換（1ペア交換——奇）、固定（そのピース種は不動）。

各行でコーナーとエッジのパリティは一致——これが正当キューブは2コーナーだけ・2エッジだけ交換できない読める理由です。

F2L完成・U層ピース全整列・4コーナーと4エッジの入れ替えのみを仮定。4つのU層スロットと整列ラベルに時計回り0、1、2、3と番号付け。固定座標系状態は対(c, e)で、c、e ∈ S₄ はコーナーとエッジの配置、パリティ等価（sign(c)＝sign(e)）。各 S₄ は偶12・奇12置換なので、

|X| = 12×12 + 12×12 = 288

2状態が事前AUF・目標枠／最終AUF同値・キューブ全体y回転違いだけなら同一名前付きPLL構造——合わせてX上の H = C₄ × C₄ 作用。

バーンサイドの補題が軌道を数えます：恒等(0,0)は288固定、4つの4循環ペア(a,b ∈ {1,3})は各8状態固定、単一(2,2)ペアは32固定、型不一致10ペアは0固定。

(288 + 4×8 + 32) / 16 = 352 / 16 = 22 orbits

1つは完成状態→非完成PLLケース21。

逆や鏡像で商を取らないこと——AaとAb、UaとUb、NaとNb、4つのG-permはすべて異なる名前付きケースのまま。頻度表（分母72）は軌道サイズ分布に従います：サイズ16が16軌道、サイズ8が2つ、サイズ4が4つ（スキップ含む）。

固定座標系代表を選びます：α＝Aa（コーナー3循環、エッジ固定）、ε＝Ua（エッジ3循環、コーナー固定）、r＝U（コーナーとエッジの同時4循環）。その閉包 ⟨α, ε, r⟩ = X で、⟨Aa, Ua, U⟩＝288。

証明略図：共役 rᵏαr⁻ᵏ はコーナー3循環を異なる三つ組へ移し、全偶コーナー置換（A₄）を生成。共役 rᵏεr⁻ᵏ も同様に全偶エッジ置換（A₄）を生成。合わせて偶偶部分群 A₄×A₄（144状態）に届く。4循環rは奇で奇奇剰余類（144状態追加）に届く→計288。これは数学的生成系であって推奨解法ではありません——タイム計測で1手PLL手順の代わりにAaとUaを繰り返し回してはなりません。理論はケースを構造的に関係づけますが、フィンガートリックは選びません——各ケースの実際手順はページ末の手順表にあります。

共役——X A X⁻¹ は作業域を移し、核心効果を行い、戻します。例：UᵏAU⁻ᵏ はコーナー3循環を異なる3コーナー組へ再配置。交換子——[A,B] = A B A⁻¹ B⁻¹。AとBが局所的に重なるとき、相殺で小さな正味循環が残ることがあります——多くのピースを一時乱す長手順の直観を与えます。

逆：Aa→Ab、Ua→Ub、Ga→Gb、Gc→Gd。E、F、H、Ja、Jb、Na、Nb、Ra、Rb、T、V、Y、Zは自己逆。鏡像：Aa→Ab、Ua→Ub、Ja→Jb、Ra→Rb、Na→Nb。inverse(Ga) = Gb に対して mirror(Ga) = Gc——鏡像＝逆と思い込む典型的ミスを防ぐ決定的対照です。鏡像関係はケース幾何を述べ、フィンガートリック実装ではありません。

これらの基本構造（3循環、二重互換、協調コーナー／エッジ互換）が手順の集まり方と、 setup ・逆・鏡像のアイデア再利用を説明します。移動列を一意に定めはしません——同じ置換を実現する手順は把持・回転・中間撹乱の違いで多数あります。