Tutorial de PLL de CFOP

Con F2L resuelto y todas las piezas de la capa U orientadas, la última capa tiene 288 estados legales de permutación (4! × 4! / 2 = 288 pares de paridad igual esquina/arista). Estos 288 estados se agrupan en 22 órbitas estructurales bajo equivalencia AUF + rotación de vista. Una órbita es el estado resuelto/solo-AUF; las 21 órbitas restantes son los casos PLL nombrados.

Denominador 72 (incondicional). Las tablas de probabilidad por caso y por grupo usan el denominador estándar 72: incluyen el skip de PLL (1/72 de todos los estados PLL legales). Por ejemplo, EPLL cubre 11/72 ≈ 15.3% del espacio uniforme de probabilidad. Denominador 71 (sin skip). La hoja de ruta de etapas usa la cobertura entre resoluciones que requieren algoritmo PLL, dividiendo por 71. Los dos denominadores sirven a fines distintos y no deben mezclarse.

• Cuatro faros distinguen EPLL de cualquier otro grupo didáctico no skip.
• Ua y Ub tienen una barra completa: el ancla del ciclo de tres aristas.
• H y Z no tienen barra completa ni bloque de color.
• En H, la arista central de cada lado de faros es del color opuesto al de los faros; en Z es un color adyacente.

Direcciones B/R/F/L: la barra completa (cuando existe) da el ancla de orientación. Para H y Z, cualquier lado de faros puede servir de referencia: la comparación de color de arista opuesta/adyacente vale en los cuatro lados.

1. ¿Hay una barra completa? → Sí → perm U: las aristas restantes ciclan en sentido horario → Ua; antihorario → Ub.
2. ¿Hay una barra completa? → No: la arista central es de color opuesto en cada lado de faros → H.
3. La arista central es de color adyacente en cada lado de faros → Z.

Ua↔Ub son espejos e inversas. H y Z son autoinversas y autoespejo.

Orden de la etapa 0: Ua → Ub → H → Z. Sin confusión retenida entre grupos tras la observación de cuatro faros.

• E no tiene faros ni bloques de color: el único caso de esta categoría.
• Aa y Ab tienen exactamente un faro y dos bloques de color desconectados.
• Usando el lado de faros como referencia, una esquina sirve de ancla alrededor de la cual ciclan las otras tres.

Direcciones B/R/F/L: trata mentalmente el lado de faros como las 12. Los dos bloques desconectados están en los lados adyacentes a los faros: sus posiciones respecto a la esquina ancla distinguen Aa de Ab.

1. ¿Cuántos faros? → 0, sin bloques de color → E.
2. 1 faro, dos bloques desconectados → perm A: tres esquinas ciclan en sentido horario alrededor del ancla → Aa; antihorario → Ab.

Aa↔Ab son espejos e inversas. E es autoinversa y autoespejo.

CPLL ↔ Adyacente: comparten primera impresión de un faro sin barra completa. Cualquier bloque conectado significa adyacente; ninguno más dos desconectados significa CPLL/A. CPLL ↔ Diagonal: comparten cero faros. Cero bloques significa E; cualquier bloque significa diagonal. CPLL ↔ Perms G: comparten un faro sin barra completa ni bloque conectado. Cuenta bloques: dos significa CPLL/A; uno significa perms G.

Orden de la etapa 0 dentro de CPLL: Aa → Ab → E.

• Rama con barra (Ja, Jb, F): Ja y Jb tienen tres bloques adicionales del mismo sentido fuera de la barra; F ninguno fuera.
• Rama sin barra (T, Ra, Rb): T tiene dos bloques conectados; Ra y Rb uno.
• La dirección del espejo se lee respecto al lado de faros / barra completa, nunca desde una cara absoluta.

Direcciones B/R/F/L: centra el lado de faros o barra completa a las 12. «Inclina en sentido horario» significa que el bloque usa la esquina del extremo horario de ese lado; «inclina antihorario» el extremo opuesto.

1. ¿Los faros son barra completa? → Sí → ningún bloque fuera de la barra → F.
2. Tres bloques fuera, todos inclinando igual → perm J: todos antihorario → Jb; todos horario → Ja.
3. ¿Los faros son barra completa? → No → dos bloques conectados → T.
4. Un bloque conectado → perm R: bloque en el lado adyacente antihorario de los faros → Ra; lado horario → Rb.

Ja↔Jb y Ra↔Rb son parejas espejo cuyos miembros son autoinversos. T y F son autoinversas y autoespejo.

CPLL ↔ Adyacente: CPLL comparte un faro sin barra completa, pero no tiene bloque conectado y tiene dos desconectados. Perms G ↔ Adyacente: las perms G también tienen un faro, pero ni barra completa ni bloque conectado y solo un bloque desconectado.

El orden curricular difiere del orden de galería. Etapa 1: T → Jb → Ja. Etapa 2: Ra → Rb → F. T se establece antes de comparaciones R/F.

• Y y V tienen dos bloques: en V los dos bloques se tocan en la misma esquina; en Y están separados.
• Na y Nb tienen cuatro bloques, todos inclinando coherentes alrededor del perímetro.
• Sin faros: esto distingue diagonal de inmediato de todos los grupos salvo el caso E de CPLL.

Direcciones B/R/F/L: con cero faros, usa cualquier lado como referencia inicial. Recorre los cuatro lados buscando bloques y traza si se tocan en una esquina común (V) o quedan separados (Y). Para Na/Nb, los cuatro lados muestran un bloque inclinado: revisa la dirección coherente.

1. ¿Cuántos bloques? → 2: bloques separados → Y.
2. Bloques que se tocan en la misma pieza de esquina → V.
3. 4 bloques: todos antihorario → Na; todos horario → Nb.

Na↔Nb son espejos cuyos miembros son autoinversos. Y y V son autoinversas y autoespejo.

Con cero faros, E puede parecerse al inicio a un caso diagonal, pero E no tiene ningún bloque mientras cada caso diagonal tiene dos o cuatro. Un recorrido completo lo decide.

La etapa 1 introduce Y como referencia sin faros. La etapa 2 añade V. La etapa 4 añade Na → Nb: compara ambas contra Y y V.

• Usa el lado de faros como las 12.
• La arista entre los faros es de color adyacente u opuesto respecto al color de los faros: esta es la primera división.
• El único bloque desconectado está en el lado adyacente antihorario, el horario o el opuesto a los faros: su posición e inclinación completan la identificación.

Direcciones B/R/F/L: centra los faros a las 12. El color de arista entre los faros (adyacente frente a opuesto) determina la fila; la posición e inclinación del bloque determinan la columna en el diseño 2×2.

1. ¿Color entre faros? → adyacente → bloque único en lado adyacente antihorario → Ga; en lado horario → Gc.
2. Opuesto → bloque único en el lado opuesto a los faros: bloque antihorario → Gb; horario → Gd.

Filas inversas: Ga↔Gb y Gc↔Gd. Columnas espejo: Ga↔Gc y Gb↔Gd. Ninguna de las cuatro es autoinversa. El diseño 2×2 es: fila superior Ga (adyacente, antihorario) y Gb (opuesto, antihorario); fila inferior Gc (adyacente, horario) y Gd (opuesto, horario).

CPLL ↔ Perms G: Aa/Ab comparten un faro sin barra completa ni bloque conectado, pero tienen dos bloques desconectados en vez de uno. Adyacente ↔ Perms G: los adyacentes tienen barra completa o al menos un bloque conectado; las perms G ninguno.

Orden de la etapa 3: Ga → Gb → Gc → Gd, manteniendo parejas inversas consecutivas.

Cada grupo PLL tiene un par característico de tipos de ciclo: uno describe cómo se mueven las cuatro esquinas y otro las cuatro aristas. Introduce solo cuatro estructuras: 3-ciclo (tres piezas ciclan, la cuarta queda: dos intercambios, paridad par); doble transposición (dos pares disjuntos se intercambian: dos intercambios, par); transposición simple (un par se intercambia: impar); y fijo (sin movimiento para ese tipo de pieza).

Cada fila tiene paridades de esquina y arista coincidentes: esta es la razón legible por la que un cubo legal no puede intercambiar solo dos esquinas o solo dos aristas.

Supón F2L resuelto, todas las piezas U orientadas, solo las cuatro esquinas y cuatro aristas permutadas. Indexa los cuatro slots U y etiquetas resueltas en sentido horario 0, 1, 2, 3. Un estado de marco fijo es un par (c, e) donde c, e ∈ S₄ son las disposiciones de esquinas y aristas, con paridad igual (sign(c) = sign(e)). Cada S₄ tiene 12 permutaciones pares y 12 impares, así que

|X| = 12×12 + 12×12 = 288

Dos estados comparten la misma estructura PLL nombrada cuando solo difieren en pre-AUF, equivalencia de marco objetivo/AUF final o rotación y de todo el cubo: juntos una acción de H = C₄ × C₄ sobre X.

El lema de Burnside cuenta las órbitas: identidad (0,0) fija 288; los cuatro pares de 4-ciclos (a,b ∈ {1,3}) fijan 8 estados cada uno; el par único (2,2) fija 32; los 10 pares de tipo de ciclo dispar fijan 0.

(288 + 4×8 + 32) / 16 = 352 / 16 = 22 orbits

Uno es el estado resuelto → 21 casos PLL no resueltos.

No cocientes inversa ni espejo: Aa y Ab, Ua y Ub, Na y Nb y las cuatro perms G siguen siendo casos nombrados distintos. La tabla de frecuencias (denominador 72) sigue la distribución de tamaños de órbita: 16 órbitas de tamaño 16, 2 de tamaño 8 y 4 de tamaño 4 (incluido skip).

Elige representantes de marco fijo: α = Aa (3-ciclo de esquinas, aristas fijas), ε = Ua (3-ciclo de aristas, esquinas fijas), r = U (4-ciclo simultáneo en esquinas y aristas). Su clausura ⟨α, ε, r⟩ = X, con ⟨Aa, Ua, U⟩ = 288.

Esbozo de prueba: los conjugados rᵏαr⁻ᵏ mueven el 3-ciclo de esquinas a distintas ternas, generando todas las permutaciones pares de esquinas (A₄). Los conjugados rᵏεr⁻ᵏ generan igual todas las pares de aristas (A₄). Juntos alcanzan el subgrupo par-par A₄ × A₄ (144 estados). El 4-ciclo r es impar, alcanzando la coclase impar-impar (144 estados más) → 288 en total. Esto es un conjunto generador matemático, no un método recomendado: nunca ejecutes Aa y Ua repetidas en una resolución cronometrada en vez de aprender algoritmos PLL de un paso. La teoría relaciona estructuralmente los casos pero no elige finger tricks: el algoritmo real de cada caso está en la referencia rápida al final de la página.

Conjugado: X A X⁻¹ mueve el área de trabajo, ejecuta el efecto central y vuelve. P. ej. UᵏAU⁻ᵏ reubica el 3-ciclo de esquinas en otro conjunto de tres esquinas. Conmutador: [A,B] = A B A⁻¹ B⁻¹. Cuando A y B se solapan localmente, la cancelación puede dejar un pequeño ciclo neto: esto da intuición para algoritmos largos que perturban temporalmente muchas piezas.

Inversa: Aa→Ab, Ua→Ub, Ga→Gb, Gc→Gd; E, F, H, Ja, Jb, Na, Nb, Ra, Rb, T, V, Y, Z son autoinversas. Espejo: Aa→Ab, Ua→Ub, Ja→Jb, Ra→Rb, Na→Nb; inverse(Ga) = Gb mientras mirror(Ga) = Gc: un contraste decisivo que evita el error común de suponer que espejo equivale a inversa. Las relaciones espejo describen geometría de casos, no implementación de finger tricks.

Estas estructuras elementales (3-ciclos, dobles transposiciones, transposiciones coordinadas esquina/arista) explican por qué los algoritmos se agrupan y por qué setups, inversas y espejos reutilizan ideas. No determinan unívocamente una secuencia de movimientos: muchos algoritmos realizan la misma permutación con distintos agarres, rotaciones y perturbaciones intermedias.