CFOP PLL 教程

顶层朝向完成后（OLL 完成），剩余的合法置换状态数：4 个角的排列 4! = 24 种，4 个棱的排列 4! = 24 种，但角与棱的置换奇偶性必须一致（魔方基本定理），因此合法状态数为 (12×12 + 12×12) = 288。考虑 AUF 和 y 旋转的 C₄×C₄ 群作用，用 Burnside 引理得 22 个结构轨道——其中 1 个为已还原态（PLL 跳过），剩余 21 个即非跳过的 PLL 情形。

频率表使用无条件分母 72（含 PLL 跳过：288 / 4 = 72 个 AUF 类，跳过占 1/72）。学习路线的覆盖率则采用分母 71（排除跳过），因为路线回答的是“需要做 PLL 时，已经掌握的比例”——两种分母各有用途，注意不要混淆。单情形频率分三档：16 个情形各占 1/18（4/72），2 个（E、Z）各占 1/36（2/72），3 个（H、Na、Nb）各占 1/72。

• 四面均有车头灯——这是 EPLL 区分于所有其他组的核心标志
• Ua/Ub 有一条完整条，锚定三棱循环的方向
• H 每条车头灯面的中间棱都是对色——棱要去对面位置
• Z 每条车头灯面的中间棱都是邻色——棱要去相邻位置

以完整条面为 12 点方向，观察剩余棱的循环方向（Ua 顺时针，Ub 逆时针）。无完整条时看各车头灯面中间棱色（对色 = H，邻色 = Z）。

1. 有完整条 → U-perm：剩余棱顺时针循环 = Ua，逆时针循环 = Ub
2. 无完整条，且每条车头灯面的中间棱均为对色（与车头灯色相对）→ H
3. 无完整条，且每条车头灯面的中间棱均为邻色 → Z

Ua 和 Ub 互为逆和镜像。H 和 Z 自逆且自镜像。

学习路线第 0 阶段，顺序：Ua → Ub → H → Z。

• E 无车头灯且无同色块——PLL 中最「空白」的特征组合
• Aa/Ab 有 1 面车头灯，且恰好 2 个非同色块（均不与车头灯相邻连接）
• 以车头灯面为锚点，A-perm 三棱循环围绕一个固定角

以车头灯面为锚角：Aa 三棱绕锚角顺时针，Ab 逆时针。E 无车头灯，所有侧面均无同色块。

1. 0 面车头灯，且无同色块 → E
2. 1 面车头灯，恰好 2 个非同色块 → A-perm：三棱绕锚角顺时针 = Aa，逆时针 = Ab

Aa 和 Ab 互为逆和镜像。E 自逆且自镜像。

CPLL 涉及三条混淆边界：① 0 车头灯时，无同色块 = E，有同色块 = Diagonal；② 1 车头灯且无完整条时，有连接同色块 = Adjacent；③ 同②但无连接同色块时，2 个非同色块 = CPLL·A，1 个 = G-perms。

学习路线第 0 阶段，顺序：Aa → Ab → E。

• 恰好 1 面车头灯，且要么有完整条，要么有连接同色块
• 完整条分支：J 有 3 个外部同向同色块，F 无外部同色块
• 非完整条分支：T 有 2 个连接同色块，R 有 1 个

以车头灯面为 12 点方向。完整条分支看外部同色块数（J 有 3，F 无）。非完整条分支数连接同色块数：T 有 2，R 有 1——连接在车头灯逆时针邻侧 = Ra，顺时针邻侧 = Rb。

1. 车头灯是完整条 → 看外部同色块数：0 个 = F；3 个且同向 = J-perm（逆时针 = Jb，顺时针 = Ja）
2. 车头灯不是完整条 → 数连接同色块：2 个 = T；1 个 = R-perm（连接在逆时针邻侧 = Ra，顺时针邻侧 = Rb）

Ja↔Jb 互为镜像且各自自逆。Ra↔Rb 互为镜像且各自自逆。T 和 F 自逆且自镜像。

与 CPLL 共享「1 面车头灯、无完整条」的第一印象——CPLL 无连接同色块，而有连接同色块即 Adjacent。与 G-perms 共享 1 面车头灯——Adjacent 有完整条或连接同色块，G-perms 无。

分两个阶段：第 1 阶段 T → Jb → Ja；第 2 阶段 Ra → Rb → F。

• 0 面车头灯，有 2 或 4 个同色块
• Y 两个同色块不交汇（分居不同侧面）；V 两个同色块交汇于同一角
• Na/Nb 四个同色块全部同向绕顶

Y 两个同色块分居不同侧面且无共同角；V 两个同色块共用一角。Na 四个同色块均逆时针倾斜，Nb 均顺时针。

1. 2 个同色块 → 看是否交汇于同一角：不交汇 = Y；交汇于同一角 = V
2. 4 个同色块，全部同向倾斜 → N-perm（逆时针 = Na，顺时针 = Nb）

Na↔Nb 互为镜像且各自自逆。Y 和 V 自逆且自镜像。

0 面车头灯时，E 可能初看像 Diagonal——但 E 无任何同色块，而每个 Diagonal 情形都有 2 或 4 个同色块。扫完全四面即可区分。

分散在三个阶段：Y 在第 1 阶段，V 在第 2 阶段，Na → Nb 在第 4 阶段。

• 1 面车头灯，无完整条，无连接同色块，恰好 1 个非同色块
• 以车头灯面为 12 点方向，观察车头灯间棱的颜色关系（邻色或对色）
• 唯一同色块的位置和倾斜方向决定具体是哪个 G-perm

以车头灯面为 12 点方向。先看车头灯间棱色（相对车头灯色是邻色还是对色），再看唯一同色块的位置和倾斜方向。

1. 车头灯间棱为邻色 → 唯一同色块在逆时针邻侧 = Ga，顺时针邻侧 = Gc
2. 车头灯间棱为对色 → 唯一同色块在车头灯对面，逆时针摆 = Gb，顺时针摆 = Gd

逆关系：Ga↔Gb，Gc↔Gd。镜像关系：Ga↔Gc，Gb↔Gd。无自逆情形。

与 CPLL·A 共享「1 面车头灯、无完整条、无连接同色块」——数同色块总数：CPLL·A 有 2 个，G-perms 有 1 个。与 Adjacent 共享 1 面车头灯——Adjacent 有完整条或连接同色块，G-perms 无。

第 3 阶段集中攻克，顺序：Ga → Gb → Gc → Gd，逆对连续。

先建立几个基本术语：三循环——三个块轮转，第四个不动（偶置换）；双对换——两对互换（也是偶置换）；单对换——一对互换（奇置换）；不动——该类块不参与置换。

这个表格覆盖全部 21 个情形恰好一次。注意每一行的角与棱奇偶性一致——EPLL/CPLL 一角一棱偶 + 另一类不动；Adjacent/Diagonal 一角一棱奇；G-perms 两偶。这就是魔方不可能单独出现一个角对换或一个棱对换的直观原因。

OLL 完成后，顶层有 4 个角和 4 个棱需要排列。合法状态要求角排列和棱排列的奇偶性相同（魔方基本定理），因此总状态数：

|X| = 12×12 + 12×12 = 288

其中 12 是 S₄ 中偶/奇置换的个数。

两个状态代表同一个 PLL 结构，当且仅当它们相差一个预 AUF（旋转观察位置）和/或一个目标帧等价（循环偏移哪个位置算「第一个」）。这相当于 C₄×C₄ 群作用在 288 个状态上。

用 Burnside 引理计算轨道数：恒等元固定全部 288 态；(a,b)均为 90°/270° 时固定 8 态（4 个元素 × 8 = 32）；(2,2) 时固定 32 态；其余 10 个元素固定 0 态。

(288 + 4×8 + 32) / 16 = 352 / 16 = 22 个轨道

其中一个轨道是已还原态（PLL 跳过），因此 22 − 1 = 21 个非跳过 PLL 情形。

这 21 个情形并不等概率。轨道大小决定了频率：16 个情形占 16/288（1/18），2 个占 8/288（1/36），3 个占 4/288（1/72）。对称性越高的情形越罕见。

选三个已知操作为固定参考系的生成元：α = Aa（角三循环，棱不动），ε = Ua（棱三循环，角不动），r = U（角棱同步 4-循环）。可以证明 ⟨α, ε, r⟩ = X，即 ⟨Aa, Ua, U⟩ 的闭包恰好是全部 288 个合法 PLL 状态。

证明概要：rᵏαr⁻ᵏ 将角三循环移到不同位置，生成所有偶角置换 A₄；同理 rᵏεr⁻ᵏ 生成所有偶棱置换 A₄；两者合起来生成 12×12 = 144 个偶-偶态；r 本身是奇置换，补全奇-奇半边，共 144+144 = 288。

共轭 X A X⁻¹：换工作区做相同效果再换回。UᵏAU⁻ᵏ 就是共轭的实例——同样的三循环在不同角位执行。交换子 [A,B] = A B A⁻¹ B⁻¹：当 A 和 B 不交换时，取消大部分扰动后只剩一个小循环。这解释了为什么长算法可以暂时打乱很多块但最终只置换少数几个。不声明每个 PLL 公式都是纯交换子。

逆 undo 一个置换。镜像是循环几何的空间反射，不是逆操作。关键区分：inverse(Ga) = Gb，而 mirror(Ga) = Gc——不要混为一条规则。自逆情形（E、F、H、T、V、Y、Z 等）指该置换做两次回到恒等，不意味着公式顺逆读相同。

注意：以上生成集是数学证明，不是推荐解法——不要在计时还原中反复做 Aa 和 Ua 代替直接 PLL 算法。理论告诉你情形之间的结构关系，但不选择指法；每个情形的实际算法见页末 公式速查。